“A Guide to Infinity: Ten Mathematical Journeys” Edward R. Scheinerman (Yale University Press, 2026)

L’infinito è una delle idee più difficili da maneggiare perché sembra collocarsi al confine tra immaginazione, linguaggio e ragionamento rigoroso. In A Guide to Infinity. Ten Mathematical Journeys, pubblicato da Yale University Press nel 2026, Edward R. Scheinerman affronta questo tema non come un mistero indistinto, ma come un insieme di strumenti matematici diversi, ciascuno dotato di regole, limiti e campi di applicazione. L’interesse del libro nasce proprio da questa scelta: mostrare che l’infinito non è un’unica entità, sempre uguale a se stessa, ma può assumere forme differenti a seconda del contesto in cui viene introdotto. Può essere un numero aggiunto alla retta reale, un punto posto alla fine del piano complesso, una direzione in cui le rette parallele si incontrano, una misura della grandezza di un insieme, oppure il risultato di un processo geometrico ripetuto senza fine. Il lettore viene così invitato a spostare l’attenzione dalla domanda generica “che cos’è l’infinito?” a una domanda più precisa: in quale sistema stiamo lavorando, con quali regole, e che cosa ci permette di fare quell’idea di infinito? La prospettiva dell’autore è divulgativa, ma non semplificatoria: l’infinito viene reso accessibile attraverso esempi, figure, calcoli elementari e analogie, senza rinunciare alla distinzione tra intuizione e definizione formale. Il libro mostra che la matematica non pretende necessariamente di “comprendere” l’infinito nel senso emotivo o metafisico del termine, ma insegna a usarlo con coerenza, accettando che ogni estensione di un sistema numerico o geometrico comporti scelte, vantaggi e rinunce. L’analisi che segue si basa esclusivamente sul testo allegato.

Il primo percorso del libro riguarda l’estensione dei numeri reali mediante l’aggiunta di due nuovi elementi, ∞ e −∞. Scheinerman parte da un’idea apparentemente semplice: se i numeri reali possono essere rappresentati su una retta, si potrebbe pensare di collocare ∞ all’estrema destra e −∞ all’estrema sinistra. Tuttavia, l’operazione non consiste soltanto nel dare un nome a due nuovi simboli. Bisogna stabilire come essi si comportino rispetto alle operazioni ordinarie, cioè addizione, sottrazione, moltiplicazione e divisione, e rispetto all’ordine. L’autore ricorda che anche numeri oggi familiari, come lo zero, i negativi o le frazioni, sono stati introdotti attraverso decisioni concettuali motivate dal desiderio di conservare proprietà fondamentali. Nel caso dei reali estesi, la regola d’ordine è chiara: per ogni numero reale x vale −∞ < x < ∞. Più delicata è l’aritmetica. È naturale porre x + ∞ = ∞, ∞ + ∞ = ∞, oppure x · ∞ = ∞ se x è positivo. Ma non tutte le espressioni possono essere definite senza creare contraddizioni. L’esempio centrale è ∞ − ∞, o equivalentemente −∞ + ∞: qualunque valore si assegni a questa operazione, si finisce per violare proprietà come l’associatività. Lo stesso avviene con 0 · ∞ e con ∞ ÷ ∞. La conclusione è importante: l’infinito può essere trattato come un numero soltanto entro certi limiti. La matematica, qui, non procede per suggestioni, ma per compatibilità interna. Se una definizione rompe le regole fondamentali del sistema, è preferibile lasciare l’operazione indefinita. Questo spiega anche il legame con il calcolo informatico: linguaggi come Python o C++ incorporano forme operative di infinito, ma devono comunque distinguere tra risultati validi, errori e valori non numerici.

Il secondo capitolo affronta un’altra forma di infinito, più familiare ma non meno insidiosa: le espansioni decimali infinite. L’esempio guida è 0,3333…, che corrisponde a 1/3. L’autore mostra dapprima il ragionamento scolastico consueto: si pone X = 0,3333…, si moltiplica per 10, si sottrae l’espressione iniziale e si ottiene 9X = 3, quindi X = 1/3. Ma subito dopo fa vedere che un ragionamento formalmente simile, applicato a una somma infinita crescente come 3 + 30 + 300 + 3000 + …, conduce a un risultato assurdo, cioè −1/3. Il punto non è screditare il primo calcolo, ma chiarire perché esso funziona in un caso e fallisce nell’altro. La risposta sta nel concetto di convergenza. Un decimale infinito non va trattato ingenuamente come una somma infinita già data, ma come una successione di approssimazioni finite: 0,3; 0,33; 0,333; 0,3333; e così via. Ogni termine è un numero finito, e la successione si avvicina sempre di più a 1/3. Dire che 0,3333… vale 1/3 significa dunque dire che la successione converge a 1/3, cioè che da un certo punto in poi i suoi termini sono vicini a 1/3 quanto si desidera. La distinzione è decisiva perché impedisce manipolazioni arbitrarie dell’infinito. Non basta che i termini di una somma siano sempre più piccoli perché la somma complessiva sia finita. Il libro lo mostra con la serie armonica 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + …: i termini tendono a zero, ma la somma cresce senza limite. Raggruppando i termini in blocchi, Scheinerman dimostra che si ottengono ripetutamente contributi maggiori di 1/2, e quindi il totale diverge. L’infinito, in questo caso, non è un numero aggiunto al sistema, ma il comportamento di un processo che non si stabilizza.

Il terzo viaggio introduce l’aritmetica tropicale, uno dei passaggi più originali del libro perché mostra che l’infinito può entrare in un sistema non solo aggiungendo un nuovo elemento, ma modificando le operazioni stesse. Nell’aritmetica tropicale si lavora con tutti i numeri reali più ∞, ma l’addizione e la moltiplicazione ordinarie vengono sostituite da due nuove operazioni: la somma tropicale, indicata con ⊕, è il minimo tra due numeri; il prodotto tropicale, indicato con ⊙, è invece la loro somma ordinaria. Così 3 ⊕ 5 = 3, mentre 3 ⊙ 5 = 8. A prima vista può sembrare un gioco simbolico, ma l’autore mostra che questo sistema conserva molte proprietà desiderabili: commutatività, associatività, distributività, elementi neutri e, in parte, inversi. La cosa interessante è che qui ∞ funziona come elemento neutro dell’addizione tropicale, perché il minimo tra x e ∞ è x. Il risultato è un’aritmetica coerente, priva delle espressioni indefinite incontrate nei reali estesi. Il valore matematico dell’aritmetica tropicale diventa più chiaro quando Scheinerman passa ai polinomi e alle curve. Un polinomio tropicale, una volta tradotto in linguaggio ordinario, diventa il minimo tra più espressioni lineari. Per questo i suoi grafici non sono curve lisce, ma figure composte da segmenti e raggi. Una linea tropicale, ad esempio, assume spesso una forma a Y, determinata dai punti in cui il minimo tra tre termini viene raggiunto almeno due volte. Questo consente di stabilire un parallelo con la geometria algebrica ordinaria: anche nel mondo tropicale esistono curve, intersezioni e analoghi di risultati classici come il teorema di Bézout. L’infinito, qui, non è più soltanto un estremo lontano, ma una componente strutturale di un nuovo linguaggio algebrico e geometrico.

Il quarto capitolo sposta l’attenzione dai numeri infinitamente grandi ai numeri infinitamente piccoli. È il mondo degli iperreali, indicati con *ℝ, che ampliano i reali introducendo infinitesimi: numeri positivi più piccoli di qualunque reale positivo. Scheinerman presenta l’idea in modo intuitivo attraverso un numero s, positivo ma minore di ogni numero reale positivo. Da questo piccolo elemento nasce un universo molto più vasto. Se s è infinitesimo, allora 1/s è più grande di qualunque numero reale positivo, quindi è infinito; 1/s² è ancora più grande, e così via. Gli iperreali contengono dunque non un solo infinito, ma infiniti livelli di grandezza infinita, insieme a infiniti livelli di piccolezza infinitesimale. A differenza dei reali estesi del primo capitolo, però, gli iperreali non sacrificano le proprietà algebriche fondamentali. Questo è garantito dal principio di trasferimento, secondo il quale ogni enunciato del primo ordine vero per i numeri reali è vero anche per gli iperreali, e viceversa. L’autore spiega con cura che cosa significa “primo ordine”: si tratta di affermazioni formulate con quantificatori riferiti ai numeri, operazioni, relazioni d’ordine e connettivi logici, non con quantificatori su insiemi di numeri. Questo chiarimento permette di comprendere perché negli iperreali restino valide proprietà come l’esistenza degli inversi additivi o la non validità della divisione per zero. La potenza degli iperreali emerge poi nel calcolo differenziale. Per trovare la derivata di y = x² + 1, invece di passare attraverso i limiti, si considera un punto infinitesimamente vicino, x + s. Il rapporto incrementale risulta 2x + s; prendendo la parte standard, cioè il numero reale infinitamente vicino all’iperreale ottenuto, si arriva a 2x. L’operazione restituisce il significato originario intuitivo della derivata come pendenza istantanea, ma in una forma rigorosa.

Con la seconda parte del libro l’infinito diventa geometrico. Il quinto capitolo riguarda i numeri complessi estesi. Se i reali si visualizzano su una retta, i complessi si rappresentano su un piano: ogni numero a + bi corrisponde al punto di coordinate (a, b). A differenza della retta reale, che sembra avere due direzioni estreme, il piano complesso non suggerisce naturalmente due infiniti distinti. Scheinerman spiega che si potrebbero immaginare molte soluzioni, ma quella più elegante e matematicamente utile consiste nell’aggiungere un unico punto ∞ al piano complesso. Nasce così il piano complesso esteso. L’aritmetica con questo infinito unico segue regole specifiche: per ogni numero complesso finito z, z + ∞ = ∞; per ogni z non nullo, z · ∞ = ∞; z/∞ = 0; e z/0 = ∞ se z è non nullo. Alcune espressioni restano però indefinite, come 0/0, ∞/∞ e 0 · ∞. La vera forza di questa costruzione è geometrica. Attraverso la proiezione stereografica, il piano complesso può essere “avvolto” su una sfera: ogni punto del piano corrisponde a un punto della sfera, tranne il polo nord, che viene identificato con ∞. Questa rappresentazione è la sfera di Riemann. Il risultato è concettualmente elegante perché l’infinito non appare più come un luogo irraggiungibile ai margini del piano, ma come un punto ordinario della sfera. Anche rette e circonferenze trovano una descrizione unificata: una circonferenza sulla sfera proiettata sul piano diventa una circonferenza o una retta, a seconda che passi o meno per il polo nord. Le trasformazioni frazionarie lineari, del tipo (az + b)/(cz + d), acquistano così un significato geometrico semplice: spostano, ruotano, ingrandiscono o ribaltano la sfera di Riemann, trattando l’infinito come parte integrante dello spazio.

Il sesto capitolo prosegue l’esplorazione geometrica con il piano proiettivo, costruito a partire dall’idea che le rette parallele si incontrino all’infinito. Scheinerman parte da un’esperienza visiva comune: i binari ferroviari sembrano convergere all’orizzonte, e la pittura prospettica sfrutta proprio questa apparenza per creare profondità. La geometria proiettiva prende sul serio questa intuizione, trasformandola in una struttura matematica. Nel piano euclideo due rette parallele non si incontrano; nel piano proiettivo, invece, a ogni famiglia di rette parallele viene aggiunto un punto all’infinito comune. Tutti questi punti all’infinito formano a loro volta una retta, chiamata retta all’infinito. Il guadagno teorico è notevole: nel piano proiettivo ogni coppia di rette si incontra in un punto, e ogni coppia di punti determina una retta. Nasce così una forte dualità tra punti e rette, assente nella geometria euclidea ordinaria. Per rendere questa costruzione precisa, il libro introduce le coordinate omogenee. Un punto non è più rappresentato solo da una coppia (x, y), ma da una tripla (x, y, z), con la regola che tutti i multipli non nulli rappresentano lo stesso punto. I punti ordinari hanno z diverso da zero; i punti all’infinito hanno z = 0. Anche le rette vengono rappresentate da triple [a, b, c], e la condizione perché un punto stia su una retta è l’equazione ax + by + cz = 0. Questa simmetria rende naturale la dualità tra punti e rette. Scheinerman applica poi il linguaggio proiettivo al teorema di Desargues, alla topologia del piano proiettivo e al teorema di Bézout. Quest’ultimo mostra perché la geometria proiettiva, soprattutto nella versione complessa, consenta di “completare” il conteggio delle intersezioni tra curve algebriche: punti mancanti nel piano euclideo possono riapparire come punti complessi o punti all’infinito.

Paragrafi 7–12

Il settimo capitolo introduce il piano iperbolico, seconda grande forma geometrica dell’infinito proposta dal libro. Se nel piano proiettivo l’infinito serve a far incontrare le rette parallele, nel piano iperbolico accade quasi l’opposto: il postulato delle parallele viene modificato in modo che, data una retta e un punto esterno a essa, esistano più rette passanti per quel punto che non incontrano la retta data. Scheinerman presenta questa geometria attraverso il modello del disco di Poincaré, nel quale tutti i punti del piano iperbolico sono contenuti all’interno di un cerchio di raggio uno. Le rette non sono, in generale, segmenti rettilinei nel senso euclideo, ma archi di circonferenza perpendicolari al bordo del disco, oppure diametri del disco stesso. Il bordo del cerchio non appartiene al piano iperbolico: rappresenta una linea di punti ideali, cioè punti all’infinito. L’aspetto più interessante è che un mondo infinito viene rappresentato dentro una regione finita. La distanza euclidea visibile nel disegno non coincide infatti con la distanza iperbolica: avvicinandosi al bordo, le distanze crescono senza limite. Per questo figure che appaiono sempre più piccole verso la periferia del disco possono essere, nella geometria iperbolica, congruenti tra loro. Il modello funziona come una lente deformante: comprime visivamente l’infinito senza renderlo finito dal punto di vista geometrico. Da questa diversa nozione di distanza derivano conseguenze profonde. La somma degli angoli di un triangolo iperbolico è sempre minore di 180 gradi, e può avvicinarsi a zero quando i vertici si trovano idealmente sul bordo. Anche l’area di un triangolo dipende dal suo difetto angolare, cioè da quanto la somma dei suoi angoli si discosta da π radianti. L’infinito, qui, è una struttura interna dello spazio: non si limita a indicare un luogo lontano, ma modifica le nozioni di linea, distanza, area e parallelismo.

La geometria iperbolica permette inoltre di comprendere perché l’infinito non sia soltanto una questione di grandezza, ma anche di forma. Scheinerman dedica una parte importante del capitolo alle tassellazioni, cioè ai modi di ricoprire un piano con poligoni regolari senza sovrapposizioni né spazi vuoti. Nel piano euclideo le possibilità sono molto limitate: triangoli equilateri, quadrati ed esagoni regolari. Il vincolo dipende dalla somma degli angoli attorno a un vertice, che deve essere pari a 360 gradi. Nel piano iperbolico, invece, gli angoli dei poligoni regolari possono essere più piccoli rispetto ai corrispondenti euclidei, e questo apre un numero molto più ampio di possibilità. Si possono costruire tassellazioni con triangoli in cui sette o otto triangoli si incontrano in ogni vertice; si possono usare quadrilateri con cinque o più figure attorno a un vertice; si possono tassellare regioni con pentagoni, esagoni, e più in generale con poligoni regolari di ogni numero di lati almeno pari a tre. Le immagini del libro mostrano come queste tassellazioni si addensino verso il bordo del disco: all’occhio sembrano rimpicciolirsi, ma nella metrica iperbolica i poligoni della stessa tassellazione hanno la stessa dimensione. Il riferimento alle opere Circle Limit di M. C. Escher serve a mostrare che questa matematica non è soltanto astratta, ma produce forme visive capaci di rendere percepibile l’infinito. La sezione sul modello del semipiano superiore aggiunge un ulteriore livello concettuale: lo stesso piano iperbolico può essere rappresentato in modi diversi, collegati da trasformazioni frazionarie lineari. Ciò rafforza una tesi ricorrente del libro: l’infinito dipende dal sistema di rappresentazione, ma non è arbitrario. Cambia la figura, non la struttura matematica sottostante.

L’ottavo capitolo cambia registro e passa dall’infinito geometrico all’infinito come grandezza di insiemi. Qui Scheinerman riprende una delle scoperte più profonde della matematica moderna: non tutti gli infiniti hanno la stessa dimensione. Per arrivarci, il libro costruisce gradualmente gli strumenti necessari. Un insieme è una collezione non ordinata e senza ripetizioni; una funzione associa a ogni elemento di un insieme di partenza un elemento di un insieme di arrivo; una biiezione è una funzione che realizza un accoppiamento perfetto, cioè è sia iniettiva sia suriettiva. Per gli insiemi finiti, due insiemi hanno la stessa cardinalità se e solo se esiste una biiezione tra loro. L’idea viene poi estesa agli insiemi infiniti. La narrazione dell’hotel di Hilbert mostra in modo intuitivo quanto l’infinito sia diverso dal finito: un albergo con infinite stanze tutte occupate può comunque accogliere un nuovo ospite spostando ciascun ospite dalla stanza n alla stanza n + 1; può perfino accogliere gli infiniti ospiti di un secondo albergo spostando i primi ospiti nelle stanze pari e collocando i nuovi nelle stanze dispari. Questa stranezza non è un gioco, ma una conseguenza del fatto che un insieme infinito può essere messo in corrispondenza biunivoca con una sua parte propria. Il libro mostra poi che i naturali, gli interi e i razionali sono tutti numerabili: benché sembrino insiemi di grandezza diversa, esistono modi per elencarli e abbinarli ai numeri naturali. La situazione cambia con i reali. Attraverso l’argomento diagonale di Cantor, Scheinerman mostra che nessuna lista numerata può contenere tutti i numeri reali di un intervallo. Dato qualunque elenco, si può costruire un nuovo numero che differisce dal primo numero nella prima cifra, dal secondo nella seconda cifra, dal terzo nella terza, e così via. Questo numero non compare nella lista. L’insieme dei reali è dunque non numerabile: è un infinito più grande di quello dei naturali.

Il capitolo sulle cardinalità transfinite sviluppa le conseguenze di questa scoperta. I numeri naturali descrivono la grandezza degli insiemi finiti; per gli insiemi infiniti servono nuovi numeri, i cardinali transfiniti. Il più piccolo infinito numerabile è indicato con ℵ₀, la cardinalità dei naturali, degli interi e dei razionali. La cardinalità dei reali è invece indicata con 𝔠, il continuo, ed è più grande di ℵ₀. L’autore introduce quindi l’ipotesi del continuo: esiste un insieme la cui cardinalità sia strettamente compresa tra quella dei naturali e quella dei reali? Cantor pensava di no; il libro spiega però che la risposta moderna è più sottile. Dipende dagli assiomi della teoria degli insiemi adottata. Come nel caso del postulato delle parallele, che vale nella geometria euclidea ma non in quella iperbolica o proiettiva, anche qui una domanda apparentemente assoluta si rivela dipendente dal quadro assiomatico. Scheinerman collega questo punto al paradosso di Russell, che mostra i rischi di trattare gli insiemi come semplici “collezioni” senza regole rigorose. Se si considera l’insieme di tutti gli insiemi che non appartengono a se stessi, si cade in una contraddizione: se quell’insieme appartiene a se stesso, allora non dovrebbe appartenervi; se non vi appartiene, allora dovrebbe appartenervi. Da qui nasce l’esigenza di una teoria assiomatica degli insiemi. Il capitolo mostra anche che oltre i reali esistono infiniti ancora più grandi: dato un insieme A, il suo insieme delle parti 𝒫(A) ha sempre cardinalità maggiore di A. Questo genera una scala senza fine di cardinalità sempre più vaste. L’applicazione finale ai numeri trascendentali chiarisce la forza di questi strumenti: poiché l’insieme dei numeri algebrici è numerabile mentre i reali non lo sono, devono esistere moltissimi numeri reali non algebrici. Cantor dimostra così l’esistenza dei trascendentali senza doverne indicare uno esplicitamente.

Il nono capitolo distingue tra cardinalità e ordine. Due insiemi possono avere lo stesso numero di elementi ma una struttura d’ordine completamente diversa. I naturali, gli interi e i razionali sono tutti numerabili, ma ordinati nel modo consueto non si somigliano affatto: i naturali hanno un primo elemento, gli interi no; nei razionali, tra due elementi qualunque, ce ne sono infiniti altri. Per affrontare questa differenza Scheinerman introduce gli insiemi ordinati e poi gli insiemi ben ordinati, cioè insiemi nei quali ogni sottoinsieme non vuoto possiede un elemento minimo. I naturali sono ben ordinati; gli interi e i razionali non lo sono nel loro ordine abituale. Da qui emergono i numeri ordinali, che non misurano quanti elementi ci sono, ma quale tipo d’ordine possiede un insieme ben ordinato. Per gli insiemi finiti cardinali e ordinali coincidono, ma nell’infinito divergono. L’ordinale associato ai naturali è ω. Se si aggiunge un elemento dopo tutti i naturali, si ottiene un ordine diverso: non più ω, ma ω + 1. Se invece si pone un elemento prima dei naturali, l’insieme risultante è ancora isomorfo ai naturali, e quindi ha ancora tipo d’ordine ω. Questa asimmetria conduce a un risultato sorprendente: l’aritmetica degli ordinali non è commutativa. Infatti 1 + ω = ω, mentre ω + 1 è diverso da ω. Lo stesso accade per la moltiplicazione: ordinare copie di insiemi infiniti in un modo o in un altro produce tipi d’ordine differenti. Il capitolo mostra così che l’infinito non riguarda soltanto la quantità, ma anche la successione, la posizione, il “prima” e il “dopo”. La domanda ingenua sul numero immediatamente precedente l’infinito riceve una risposta precisa: prima di ω non c’è un ultimo numero; dopo ω, invece, si può costruire ω + 1. L’infinito ordinale non è un punto d’arrivo, ma l’inizio di nuove strutture ordinate.

L’ultimo capitolo riporta l’infinito nel mondo delle forme. Scheinerman mostra come processi ripetuti indefinitamente possano produrre oggetti geometrici inattesi. Il cerchio può essere pensato come il limite di poligoni regolari con un numero crescente di lati; questo richiama il metodo di Archimede per approssimare π mediante poligoni inscritti e circoscritti. Ma il libro avverte subito che il passaggio al limite va trattato con cautela: una successione di forme può avvicinarsi a una figura senza che tutte le sue proprietà si trasferiscano automaticamente. L’esempio della diagonale del quadrato è chiarissimo. Una scala a zig-zag può approssimare sempre meglio la diagonale di un quadrato unitario, ma la lunghezza della scala resta sempre 2, mentre la diagonale misura √2. La convergenza geometrica della forma non implica la convergenza delle lunghezze. Da qui il libro passa al tappeto di Sierpiński, costruito rimuovendo ripetutamente il quadrato centrale da ciascun quadrato rimasto. L’area residua tende a zero, perché a ogni passo si conserva solo una frazione pari a 8/9 dell’area precedente; il perimetro, invece, cresce senza limite, perché ogni nuova rimozione aggiunge nuovi bordi. Questo oggetto ha dimensione intermedia tra 1 e 2, calcolabile tramite il metodo del box-counting come log₃8. È un frattale: non una curva ordinaria, non una superficie piena, ma una forma che costringe a ripensare la nozione stessa di dimensione. La curva di Hilbert porta ancora oltre il paradosso apparente: attraverso un processo iterativo, una curva continua può riempire l’intero quadrato unitario. Il capitolo si chiude con l’insieme di Mandelbrot, generato iterando la funzione fc(z) = z² + c e osservando per quali valori complessi di c la successione resta limitata. L’insieme risultante contiene una complessità infinita, visibile nei dettagli che riappaiono a ogni ingrandimento. Nel suo insieme, l’opera ricompone l’infinito come una pluralità di costruzioni coerenti: numero, limite, direzione, cardinalità, ordine, forma. Il messaggio finale è che l’infinito non va inteso come un’unica grandezza smisurata, ma come una famiglia di concetti regolati da sistemi diversi. Ogni sistema stabilisce che cosa è possibile dire, calcolare, visualizzare o confrontare. Le implicazioni sono teoriche e pratiche: comprendere l’infinito significa imparare a riconoscere il ruolo delle definizioni, degli assiomi e delle rappresentazioni nel dare forma al pensiero matematico.

Sintesi finale

A Guide to Infinity sostiene che l’infinito non è un oggetto unico e omogeneo, ma una costellazione di concetti matematici distinti, ciascuno definito dal sistema in cui viene introdotto e dalle regole che ne governano l’uso. Nei reali estesi, ∞ e −∞ possono essere aggiunti come nuovi elementi, ma alcune operazioni, come ∞ − ∞ o 0 · ∞, devono restare indefinite per non violare le proprietà fondamentali dell’algebra. Nelle espansioni decimali infinite, l’infinito compare invece come processo di approssimazione e richiede il concetto di convergenza, che permette di distinguere tra successioni che tendono a un valore e somme che crescono senza limite. Nell’aritmetica tropicale, l’infinito entra in un sistema operativo alternativo, fondato sul minimo e sulla somma ordinaria, capace di trasformare polinomi e curve in strutture lineari. Negli iperreali, l’infinito nasce dagli infinitesimi e consente di recuperare in modo rigoroso l’intuizione originaria del calcolo differenziale, mostrando come quantità infinitamente piccole possano generare grandezze infinitamente grandi. Nel piano complesso esteso, l’infinito è un unico punto rappresentato dal polo nord della sfera di Riemann; nel piano proiettivo è il luogo in cui le rette parallele si incontrano; nel piano iperbolico è il bordo ideale di uno spazio che appare finito ma possiede distanza infinita. Il passaggio agli insiemi mostra poi che gli infiniti possono avere grandezze diverse: naturali, interi e razionali sono numerabili e hanno cardinalità ℵ₀, mentre i reali sono non numerabili e possiedono una cardinalità maggiore, indicata con 𝔠. L’argomento diagonale di Cantor dimostra che nessuna lista può esaurire i numeri reali, mentre la teoria degli insiemi rivela una gerarchia di cardinalità sempre più grandi ottenute tramite gli insiemi delle parti. Gli ordinali chiariscono che l’infinito non riguarda solo la quantità, ma anche l’ordine, e che nell’aritmetica ordinale addizione e moltiplicazione non sono commutative. Le forme infinite mostrano infine che processi iterativi possono produrre oggetti con area nulla, perimetro infinito, dimensione frazionaria o complessità inesauribile, come il tappeto di Sierpiński, la curva di Hilbert e l’insieme di Mandelbrot. L’opera insiste così sul fatto che il rigore nasce dalla scelta esplicita delle regole: l’infinito diventa comprensibile quando non viene trattato come assoluto indistinto, ma come struttura interna a un linguaggio matematico. La sua implicazione più ampia è che la matematica non elimina lo stupore dell’infinito, ma lo organizza in forme precise, verificabili e produttive.

Scheda metadati

Autore: Edward R. Scheinerman
Titolo in originale: A Guide to Infinity: Ten Mathematical Journeys
Casa editrice: Yale University Press
Anno di pubblicazione: 2026
Categoria: Scienze, geografia, ambiente